gasu.gov.ru – ГАСУ Управление Посмотрите на примеры: если взять модуль от любого отрицательного числа, вы всегда будете получать положительное.
А что, если взять модуль от положительного числа? Оказывается, не будет ничего: какое число было, такое оно и останется. Модулем от положительного числа будет то же самое положительное число:
Так как модуль всегда равен положительному числу, он сам по себе тоже всегда положителен. Значение модуля не может быть отрицательным.
Кстати, модуль от ноля будет просто ноль:
В общем виде определение модуля числа можно записать в виде формул:
Вот и все, теперь вы знаете, что такое модуль от числа. Зачем же нужна такая странная математическая операция, которая только и умеет, что превращать отрицательные числа в положительные?
Модуль широко используется для обозначения, например, абсолютного значения величин. В физике знаки плюса и минуса нужны для указания направления. Например, знак минус перед скоростью означает, что тело движется в одну сторону, а знак плюс – в другую. Если же вам нужно просто значение величины скорости, без указания направления, то используется модуль.
Кроме алгебраического, полезно еще знать и геометрическое определение модуля. Представьте, что автомобиль переместился из начальной координаты (x_1) в конечную координату (x_2) (См. Рис.1).
Таким образом, модуль с геометрической точки зрения — это расстояние между двумя точками на числовой прямой.
Глядя на последний пример, можно сделать вывод, что модуль от числа (a) — это расстояние от точки с координатой (a) до нуля.
Рассмотрим теперь разные интересные примеры на вычисления модуля:
Иррациональные примеры с модулем:
Выражение под модулем будет положительным, поэтому модуль можно просто убрать:
Оценим знак выражения под модулем.
Подмодульное выражение получилось отрицательным, значит модуль должен превратить его в положительное. Это можно осуществить при помощи знака минус: берем все выражение под модулем в скобки и ставим перед ними минус:
Найдите значение выражения:
Оценим значения (a) и (b):
Подставим значения (a) и (b) в исходное выражение, при этом первый модуль будет раскрываться со знаком минус, а второй с плюсом:
Модуль числа — теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?
Нет. Потому что «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Модуль числа — коротко о главном
Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) — это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):
Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.
И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.
Что же такое модуль числа?
Представь, что это ты.
Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).
Итак, ты делаешь
шага вперёд и оказываешься в точке с координатой
.
Это означает, что ты удалился от места, где стоял на
шага (
единичных отрезка).
То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно
.
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!
Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать
шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).
Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?
Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (
и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).
Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.
Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.
Так, модулем числа
будет
. Модуль числа ( -5) также равен
.
Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.
Обозначается модуль просто:
Итак, найдём модуль числа
и ( -3):
Основные свойства модуля
Первое свойство модуля
Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.
А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):
Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:
А теперь потренируйся:
Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.
Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.
Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:
А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
Разобрался? Тогда попробуй сам:
Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.
А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.
Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.
Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:
Выражения также равны, если оба числа отрицательны:
Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:
Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля
Что если перед нами такое выражение:
Что мы можем сделать с этим выражением?
Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:
А чему равно такое выражение:
Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?
Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.
И что же получается? А вот что:
Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:
Ну, и почему сомнения? Действуем смело!
Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!
Тренировка на примерах
2. У каких чисел модуль равен
?
3. Найдите значение выражений:
Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:
Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное
имеют два числа:
и ( -5).
Решение более сложных примеров
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.
Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:
Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)
Модуль (абсолютная величина) числа ( x) — это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):
Основные свойства модуля (итог)
а это противоречит определению модуля.
( left| cx
ight|=ccdot left| x
ight|, при ext{ }c>0)
Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
График функции
Для x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:
Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.
Определение модуля числа
Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».
Разберем на примере:
Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.
Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.
Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.
Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.
Выберите идеального репетитора по математике15 000+ проверенных преподавателей со средним рейтингом 4,8. Учтём ваш график и цель обучения
Корень из квадрата
В контрольной работе или на ЕГЭ может встретиться задачка, в которой нужно вычислить , где a – некоторое число или выражение.
По определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a2 .
Модуль рационального числа
Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.
Модуль рационального числа, примеры:
Онлайн-калькулятор модуля числа
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут 10 минут — и ты разберёшься, как стать тем, кем захочешь
Свойства модуля числа
Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.
1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:
2. Модуль положительного числа равен самому числу.
3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
4. Модуль нуля равен нулю.
5. Противоположные числа имеют равные модули.
6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.
a · b = 0
−(a · b), когда a · b < 0
7. Модуль частного равен частному от деления модуля числа числителя на модуль числа знаменателя:
Геометрическая интерпретация модуля
Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.
Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.
Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.
Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 – и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 – и это второй ответ.
Эту запись читаем так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырех. Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:
Ответ в данном случае будет таким: (−11; −3).
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.
Модуль от произведения двух множителей равен произведению модулей от этих множителей:
Модуль от частного двух чисел равен частному их модулей:
Эта формула может быть полезна, когда под модулем стоит некоторая переменная или выражение, зависящее от переменной. В таком случае знак переменной мы не знаем, а вот если под модулем еще есть числа, то их можно вынести за знак модуля:
Модуль в степени
Если возвести модуль в четную степень, то знак модуля можно убрать. Четная степень сама по себе превращает любое число или выражение в положительное, поэтому модуль теряет свой смысл:
Если же возводить в нечетную степень, то знак модуля ни в коем случае убирать нельзя. Будьте внимательны.
Модуль суммы двух чисел будет меньше или равен суммы модулей этих чисел:
Если немного подумать, эта формула логична: числа (a) и (b) могут быть как положительными, так и отрицательными, если, например, они имеют разные знаки, то при их сложении под знаком модуля они будут вычитаться. А если сложить модули этих чисел по-отдельности, то никакого вычитания не будет — всегда будет сложение. Если же числа (a) и (b) одного знака, то левая часть неравенства будет равна правой. Посмотрим на примерах, так станет понятнее:
Разобрали все возможные случаи, и во всех случаях формула верна.